Végtelen + végtelen = ?

(azokról a dobozokról amin a rajta levő képen ismét szerepel az illető doboz, azon pedig megint ugyanaz a doboz képe és így tovább):

A végtelen, ahogy egy gyerek látja, aki még sosem hallott Zénon paradoxonjáról. Versenyfutás elérhetetlen céllal, sem a teknős, sem Achilleus nem éri el soha a legutolsó dobozt. 

Kicsi korunkban megtanuljuk már mi fán terem a végtelen metafizikája, meg a differenciál és integrálszámítás, csak nem tudjuk még, hogy amit megsejtettünk, az a Végtelen Regresszió képe, vagy éppen ellenkezőleg, az Örök Visszatérés és az önfarkukba harapó korok szörnyű ígérete is lehetne akár, hiszen elképzelhető, hogy a legutolsó dobozhoz érve, ha ugyan van legutolsó, saját magunkra csodálkozhatunk rá végül, ez az örvény, amint ott állunk, kezünkben az első, kezdeti dobozzal.

(Umberto Eco: Loana királynő titokzatos tüze)

Zénón paradoxonjainak azokat a paradoxonokat nevezzük, amelyeket az eleai Zénón ötlött ki Parmenidész elméletének alátámasztására, miszerint az érzékek által alkotott kép félrevezető, konkrétabban, hogy a mozgás csak illúzió, valójában nem létezik.

Zénón nyolc fennmaradt, és Arisztotelész Fizika című művében leírt paradoxonja mind nagyjából ugyanarra az alapgondolatra épül, és a legtöbbet már az ókorban is könnyen cáfolhatónak tartották. A három leghíresebb és legjobban védhető - Akhilleusz és a teknős, a fának hajított kő, és a nyílvessző paradoxonja.

Képzeljük el Akhilleuszt, a leggyorsabb görögöt, amint versenyt fut egy teknőssel. Mivel olyan gyors, nagyvonalúan száz láb előnyt ad a hüllőnek. Alighogy elindul a verseny, Akhilleusz pár ugrással ott terem, ahol a teknős kezdett. Ezalatt az idő alatt azonban a teknős is haladt egy keveset, talán egy lábnyit. Akhilleusz egy újabb lépéssel ott terem, ám ezalatt a teknős ismét halad egy kicsit, és még mindig vezet. Akármilyen gyorsan is ér Akhilleusz oda, ahol a teknős egy pillanattal korábban volt, amaz mindig egy kicsit előrébb lesz. Zénón érvelése azt látszik igazolni, hogy Akhilleusz sohasem fogja megelőzni, de még csak utolérni sem a teknőst.

Ma már tudjuk, hogy végtelen sok szám összege is adhat véges eredményt. A paradoxon esetében, ha összeadjuk a végtelen sok apró időszeletet, amit az egyes lépések igénybe vesznek, véges időt kapunk eredményül, méghozzá pontosan annyit, amennyire Akhilleusznak szüksége van, hogy utolérje a teknőst. Ha ennél több időt adunk, természetesen meg is előzi.

Ezt a megoldást egyesek bölcseleti alapon megkérdőjelezik, mondván, hogy végtelen sok számhoz vagy végtelen sok apró időszelethez végtelen ideig kellene az összeadást folytatni, így soha nem érhetnénk célba. A végtelenhez pedig több időt adni - e nézet szerint - eleve abszurditás, hiszen a végtelen minden lehetőséget magában foglal, így nem lehet ahhoz hozzáadni vagy elvonni. Ezt a nézetet az úgynevezett újzénoniánusok képviselik.

A fának hajított kő az előző egy variánsa. Zénón nyolc lábnyira áll egy fától, kezében egy követ tart. A követ a fa felé hajítja. Ahhoz, hogy a kő eltalálja a fát, először meg kell tennie a köztük lévő távolság, azaz a nyolc láb felét, ehhez pedig valamennyi időre van szüksége. Ezután még mindig hátra van négy láb, ennek megtételéhez pedig először ennek a felét, vagyis további két lábat kell repülnie, és ehhez ismét adott idő kell. Ezután további egy, majd fél, majd negyed lábat kell megtennie, és így tovább a végtelenségig. Zénón következtetése: a kő sohasem éri el a fát.

Itt egy repülő nyílvesszőt kell elképzelnünk. Bármely időpillanatban a nyíl a levegő egy ismert pontján tartózkodik. Ha ennek a pillanatnak nincs időbeli kiterjedése, akkor a nyílnak „nincs ideje”, hogy elmozduljon, tehát nyugalomban kell, hogy legyen. Hasonló logikával belátható, hogy az ezt követő pillanatokban is nyugalomban van. Mivel ez az idő bármelyik pillanatára igazolható, a nyílvessző egyáltalán nem mozoghat: a mozgása csak illúzió.

Zénón ez alapján azt állítja, hogy a mozgás csak illúzió, valójában nem létezik, így tehát sebességről sincs értelme beszélni, sem annak határértékéről.

A feloldás szerint pusztán azért, mert egy kimerevített pillanatban a nyíl állni látszik, nem mondhatjuk, hogy valóban nem mozog, mivel a nyugalom csak időben elnyújtva értelmezhető. Ahhoz, hogy a nyíl nyugalmát ellenőrizzük, több különböző pillanatot kell vizsgálni, ezekben pedig a nyíl nyilvánvalóan különböző helyeken tartózkodik, tehát mozog.

A pontosabb vizsgálathoz ismét a differenciálszámításhoz kell nyúlni. Ezáltal a nyíl különböző időbeli helyzetei és a sebessége között pontos összefüggést állíthatunk fel a határérték-számítás segítségével. Attól, hogy a kiválasztott időszelet hossza nullához tart, a megtett távolság és az eltelt idő hányadosa (a sebesség) nem kell, hogy szintén nullához tartson. A valóságban egy véges, nem nulla értékhez konvergál: ez az érték a nyíl sebessége a kimerevített időpillanatban.

(forrás: Wikipédia)